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d’où l’on tirera les valeurs des quatre fonctions dérivées partielles du premier ordre

$\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\quad \left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\quad \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right),\quad \left({\frac {b'}{\beta '}}\right),$

exprimées par les fonctions partielles

$\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right),\ \ \left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right),\ \ \left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right),\ \ \left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right),$

qui sont faciles à déduire des fonctions données $\operatorname {F} (a,b),f(a,b),$ en prenant leurs fonctions dérivées, relativement à $a$ et $b$ en particulier.

Ensuite, en prenant de nouveau les fonctions dérivées des valeurs $\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\ldots$ relativement à $\alpha$ et $\beta ,$ on aura les valeurs de $\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right),$$\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right),\ldots ,$ et ainsi de suite.

Si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)=&\mathrm {M} ,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)=&\mathrm {N} ,\\\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)=&m,&\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)=&n,\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)=&\quad \ {\frac {n}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\qquad &\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)=&-{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=&-{\frac {m}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},&\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=&\quad \ {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\end{alignedat}}$

et les premières valeurs de $p$ et $q$ seront

${\begin{aligned}p=&-{\frac {n\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}+{\frac {\mathrm {N} f(a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\q=&\ \quad {\frac {m\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}-{\frac {\mathrm {M} f(a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}.\end{aligned}}$

Ces premières valeurs de $p$ et $q$ coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus ; mais les formules que nous venons de donner pour les expressions générales de $p$ et $q$ ont l’avantage de présenter des séries toutes développées et faciles à continuer aussi loin que l’on veut.