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troisième terme par $k^{2},$ et ainsi des autres ; et l’on substituera ensuite à la place de $x$ les nombres naturels $0,1,2,3,\ldots$ jusqu’à la limite de cette équation, ou bien jusqu’à ce que le premier terme ou la somme des premiers, quand il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe, soit égale ou plus grande que la somme des négatifs ; par ce moyen, les résultats seront tous des nombres entiers, et les racines de l’équation proposée se trouveront nécessairement entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de signes contraires, ces nombres étant divisés par $k,$ comme nous l’avons vu plus haut.

3^o Soit $m$ le degré de l’équation dans laquelle il s’agit de substituer successivement les nombres naturels $0,1,2,3,\ldots \,;$ je dis que, dès que l’on aura trouvé les $m+1$ premiers résultats, c’est-à-dire ceux qui répondent à $x=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots ,m,$ on pourra trouver tous les suivants par la seule addition.

Pour cela, il n’y aura qu’à chercher les différences des résultats trouvés, lesquelles seront au nombre de $m,$ ensuite les différences de ces différences, lesquelles ne seront plus qu’au nombre de $m-1,$ et ainsi de suite jusqu’à la différence $m$^ième.

Cette dernière différence sera nécessairement constante, parce que l’exposant de la plus haute puissance de l’inconnue est $m\,;$ ainsi l’on pourra continuer la suite des différences $m$^ièmes aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement la même différence trouvée ; ensuite, par le moyen de cette suite, on pourra, par la simple addition, continuer celle des différences $(m-1)$^ièmes, et, à l’aide de celle-ci, on pourra continuer de même la suite des différences $(m-2)$^ièmes, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à la première suite, qui sera celle des résultats cherchés.

Il est bon d’observer ici que, si les termes correspondants des différentes suites dont nous parlons étaient tous positifs, les termes suivants dans chaque suite seraient tous aussi positifs. Or, puisque la dernière différence est toujours positive, il est clair qu’on parviendra nécessairement dans-chaque suite à des termes tous positifs ; ainsi il suûira de continuer toutes ces suites jusqu’à ce que leurs termes cor-