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De même, si l’on prend pour l’autre racine les limites ${\frac {3}{2}}$ et ${\frac {4}{3}},$ en faisant $a={\frac {4}{3}}$ et $b={\frac {3}{2}},$ et on aura la substitution

$x={\frac {{\cfrac {4}{3}}+{\cfrac {3}{2}}y}{1+y}}={\frac {8+9y}{6(1+y)}},$

ou bien, en mettant simplement $y$ au lieu de $3y,$

$x={\frac {8+3y}{6+2y}},$

et l’on trouvera la transformée

$y^{3}+8y^{2}+4y-8=0,$

qui a aussi la forme demandée.

Les limites que nous avons employées ont conduit directement aux transformées que l’on cherchait ; mais, si l’on avait pris, par exemple, pour la première racine les limites $2$ et ${\frac {3}{2}},$ qui ont également la propriété qu’aucune autre racine ne s’y trouve comprise, puisque l’autre racine positive est moindre que ${\frac {3}{2}},$ on aurait eu $a={\frac {3}{2}},\ b=2,$ ce qui aurait donné la substitution

$x={\frac {{\cfrac {3}{2}}+2y}{1+y}}={\frac {3+4y}{2(1+y)}},$

ou bien, en mettant $y$ pour $2y,$

$x={\frac {3+2y}{2+y}},$

et l’on aurait trouvé la transformée

$y^{3}+y^{2}-2y-1=0,$

qui n’a pas encore la forme demandée, parce que la racine positive se trouve trop grande.

Mais, sans recourir à une nouvelle substitution en augmentant la valeur de $a,$ il suffira de diminuer toutes les racines d’une même quan-