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tité $i,$ en faisant $y=z+i,$ et chercher ensuite par des essais une valeur de $i$ qui satisfasse aux conditions qu’on demande. On aura ainsi cette transformée

$z^{3}+(3i+1)z^{2}+\left(3i^{2}+2i-2\right)z+i^{3}+i^{2}-2i-1=0,$

et il s’agira de prendre $i$ positif et tel que $3i^{2}+2i>2$ et $i^{3}+i^{2}<2i+1.$ On voit tout de suite que $i=1$ satisfait, et l’on a la transformée

$z^{3}+4z^{2}+3z-1=0,$

qui est la même que la transformée en $y$ trouvée d’abord.

4. Nous avons vu dans l’Article III du Chapitre V (n^o 72) que, si ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sont deux fractions convergentes vers une des racines de l’équation en $x,$ la transformée en $t,$ qui doit servir à trouver la fraction suivante, résulte directement de la substitution de ${\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}$ au lieu de $x$ dans l’équation proposée. Faisons $t={\frac {\varpi 'y}{\rho '}},$ on aura

$x={\cfrac {{\cfrac {\rho \varpi 'y}{\rho '}}+\varpi }{\varpi '(y+1)}}={\cfrac {{\cfrac {\rho }{\rho '}}y+{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{y+1}}.$

Cette substitution est, comme l’on voit, analogue à celle que nous avons employée ci-dessus, en prenant ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}$ pour les deux limites que nous avons nommées $a$ et $b.$

Or, comme deux fractions consécutives sont elles-mêmes des limites alternativement plus grandes et plus petites que la racine cherchée, et qui se resserrent continuellement, il s’ensuit que les transformées qui répondent aux fractions plus petites que la racine approcheront de plus en plus d’avoir les conditions nécessaires pour pouvoir être de la forme proposée ; et les transformées intermédiaires auront la même propriété, en y substituant ${\frac {1}{y}}$ au lieu de $y,$ car, si ${\frac {\varpi }{\varpi '}}>{\frac {\rho }{\rho '}},$ l’expres-