Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/289

Ainsi, par exemple, si l’on a l’équation du troisième degré

$y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y-\mathrm {N} =0,$

dans laquelle $\mathrm {A,B,N}$ sont supposés des nombres positifs, en la mettant sous la forme

$y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y=\mathrm {N} ,$

on voit que, au lieu d’extraire simplement du nombre $\mathrm {N}$ la racine de la puissance $y^{3},$ il s’agit d’en extraire celle de la somme des puissance : $y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y\,;$ et, si $a$ est la partie de cette racine déjà trouvée et $p$ le reste, on aura

$\left(3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)p+(3a+\mathrm {A} )p^{2}+p^{3}=\mathrm {N} -a^{3}-\mathrm {A} a^{2}-\mathrm {B} a,$

et par conséquent

$p<{\frac {\mathrm {N} -a\left(a^{2}+\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)}{3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} }},$

formule qui répond à celle-ci

$p<{\frac {\mathrm {N} -a^{3}}{3a^{2}}},$

sur laquelle est fondé le procédé de l’extraction de la racine cubique.

Prenons l’équation trouvée plus haut

$y^{3}+4y^{2}+3y-1=0\,;$

la formule sera ici

$p<{\frac {1-a\left(a^{2}+4a+3\right)}{3a^{2}+8a+3}}.$

Il est d’abord facile de voir que le premier chiffre de la valeur de $a$ ne peut être que $0{,}2\,;$ faisant donc $a=0{,}2,$ on trouvera $p<{\frac {0{,}232}{4{,}72}}<0{,}05.$ En prenant $p=0{,}04,$ la nouvelle valeur de $a$ sera $0{,}24,$ et l’on trouvera

$p<{\frac {0{,}035776}{5{,}0728}}<0{,}008,\ldots .$