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NOTE XIII.

SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

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La résolution des équations du second degré se trouve dans Diophante et peut aussi se déduire de quelques propositions des Data d’Euclide ; mais il paraît que les premiers algébristes italiens l’avaient apprise des Arabes. Ils ont résolu ensuite les équations du troisième et du quatrième degré ; mais toutes les tentatives qu’on a faites depuis pour pousser plus loin la résolution des équations n’ont abouti qu’à faire trouver de nouvelles méthodes pour le troisième et le quatrième degré, sans qu’on ait pu entamer les degrés supérieurs, si ce n’est pour des classes particulières d’équations, telles que les équations réciproques, qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié, celles dont les racines sont semblables aux racines des équations du troisième degré et que Moivre a données le premier, et quelques autres du même genre.

1. Dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (années 1770 et 1771)^[1], j’ai examiné et comparé les principales méthodes connues pour la résolution des équations algébriques, et j’ai trouvé que ces méthodes se réduisent toutes, en dernière analyse, à employer une équation secondaire qu’on appelle résolvante, dont la racine est de la forme

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

en désignant par $x',x'',x''',\ldots$ les racines de l’équation proposée, et

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.