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par $\alpha$ une des racines de l’unité, du même degré que celui de l’équation.

Je suis ensuite parti de cette forme générale des racines, et j’ai cherché a priori le degré de l’équation résolvante et les diviseurs qu’elle peut avoir, et j’ai rendu raison pourquoi cette équation, qui est toujours d’un degré plus haut que l’équation donnée, est susceptible d’abaissement pour les équations du troisième et du quatrième degré et peut servir à les résoudre.

J’ai cru qu’un précis de cette théorie ne serait pas déplacé dans le présent Traité, non-seulement parce qu’il en résulte une méthode uniforme pour la résolution des équations des quatre premiers degrés, mais encore parce que cette méthode s’applique avec succès aux équations à deux termes, de quelque degré qu’elles soient.

2. Représentons l’équation proposée par la formule générale

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

et désignons ses $m$ racines par $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}\,;$ on aura, par les propriétés connues des équations,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&x'+x''+x'''+\ldots +x^{(m)},\\\mathrm {B} =&x'x''+x'x'''+\ldots +x''x'''+\ldots ,\\\mathrm {C} =&x'x''x'''+\ldots .\end{aligned}}$

Soit $t$ l’inconnue de l’équation résolvante ; nous ferons, d’après ce que nous venons de dire,

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

la quantité $\alpha$ étant une des racines $m$^ièmes de l’unité, c’est-à-dire une des racines de l’équation à deux termes $y^{m}-1=0.$

Pour avoir l’équation en $t,$ il faudra éliminer les $m$ inconnues $x',x'',$$x''',\ldots$ au moyen des équations précédentes, qui sont aussi au nombre de $m\,;$ mais ce procédé exigerait de longs calculs, et aurait, de plus, l’inconvénient de conduire à une équation finale d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être.