3. On peut parvenir directement et de la manière la plus simple à l’équation dont il s’agit, en employant la méthode dont nous avons fait un fréquent usage jusqu’ici, laquelle consiste à trouver d’abord la forme de toutes les racines de l’équation cherchée, et à composer ensuite cette équation par le moyen de ses racines.
Il est d’abord clair que, dans l’expression de on peut échanger entre elles à volonté les racines puisque rien ne les distingue jusqu’ici l’une de l’autre ; d’où il suit qu’on aura toutes les différentes valeurs de en faisant toutes les permutations possibles entre les racines et ces valeurs seront nécessairement les racines de la réduite en qu’il s’agit de construire.
Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre choses est exprimé en général par le produit donc l’équation en aura en général autant de racines qu’il y a d’unités dans ce nombre, et sera par conséquent d’un degré exprimé par le nombre mais nous allons voir que cette équation est susceptible d’abaissement par la forme même de ses racines.
Comme cette forme dépend de la quantité qu’on suppose être une racine de l’équation nous commencerons par quelques remarques sur les propriétés des racines de cette équation, et, pour cela, nous considérerons séparément les cas où l’exposant est un nombre premier et celui où cet exposant est un nombre composé.
4. Supposons d’abord que le nombre soit premier. Dans ce cas, toutes les puissances de jusqu’à auront des valeurs différentes, à moins que l’on n’ait car, si deux puissances et étaient égales, on aurait et de là or, aucune puissance de moindre que ne peut être tant que n’est pas En effet, puisque si l’on avait en même temps étant il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune ; et, en cherchant par les règles ordinaires le plus grand commun diviseur des deux quantités et on trouve nécessairement
