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$\alpha -1$ pour ce diviseur, à cause que $m$ est un nombre premier, de sorte que la racine commune aux deux équations $\alpha ^{m}-1=0$ et $\alpha ^{n}-1=0$ ne peut être que l’unité.

5. Il s’ensuit de là : 1^o que les puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m}$ représentent toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ en prenant pour $\alpha$ une quelconque des racines de cette équation, autre que l’unité ; car, puisque $\alpha ^{m}=1,$ on aura aussi $\alpha ^{2m}=1,\ \alpha ^{3m}=1,\ldots ,$ de sorte que les puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m}$ seront aussi des racines de la même équation, et, comme elles sont au nombre de $m,$ et ont toutes des valeurs différentes, elles donneront nécessairement toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0.$

6. Il s’ensuit aussi : 2^o que, si dans la série des puissances $\alpha ,\alpha ^{2},$$\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m-1}$ on substitue pour une quelconque de ces puissances ; comme $\alpha ^{n},$ $n$ étant $<m,$ la nouvelle série $\alpha ^{n},\alpha ^{2n},\alpha ^{3n},\ldots ,$ en rabaissant toutes les puissances au-dessous de $\alpha ^{m},$ à cause de $\alpha ^{m}=1,$ contiendra encore les mêmes puissances, mais dans un ordre différent ; car il est visible que tous les exposants $n,2n,3n,\ldots$ sont différents et que leurs restes de la division par $m$ le sont aussi, parce que $m$ est un nombre premier ; de sorte que ces restes, étant au nombre de $m$ et tous différents entre eux, ne peuvent être que les nombres $1,2,3,\ldots ,m.$

7. Considérons maintenant le cas où $m$ est un nombre composé. Dans ce cas, si $n$ est un diviseur de $m,$ toutes les racines de l’équation $y^{n}-1=0$ seront communes à l’équation $y^{m}-1=0,$ parce qu’en supposant le nombre $r$ racine de l’équation $y^{n}-1=0$ on aura $r^{n}=1,$ et par conséquent aussi $r^{m}=1,$ de sorte que $r$ sera aussi racine de l’équation $y^{m}-1=0.$ En faisant donc $\alpha =r,$ on aura $\alpha ^{m}=1,$ et, si $m=np,$ il est visible que dans la série des puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m}$ chacune se trouvera répétée $p$ fois ; par conséquent, ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ parce que cette équation ne peut avoir de racines égales.