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8. Soit $m=pq,$ $p$ et $q$ étant deux nombres premiers, et soient $\beta$ une des racines de l’équation $y^{p}-1=0$ et $\gamma$ une des racines de l’équation $y^{q}-1=0\,;$ il est clair que $\beta$ et $\gamma$ seront aussi racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ parce que, $p$ et $q$ étant $=1,$ on aura aussi $\beta ^{pq}=1,\ \gamma ^{pq}=1\,;$ mais toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0$ ne pourront pas être représentées par les puissances successives de ces racines $\beta$ et $\gamma .$

On voit aussi que le produit $\beta \gamma$ sera racine de la même équation $y^{m}-1=0\,;$ mais aucune puissance de cette racine, dont l’exposant serait inférieur à $m,$ ne pourra être égale à l’unité, à moins que $\beta$ ou $\gamma$ ne soit $=1\,;$ car il faudrait que l’exposant de cette puissance fût un diviseur de $m,$ et par conséquent égal à $p$ ou à $q\,;$ on aurait donc $(\beta \gamma )^{p}=1$ ou $(\beta \gamma )^{q}=1.$ Dans le premier cas, on aurait $\gamma ^{p}=1,r$ à cause de $\beta ^{p}=1$ (hyp.), et, comme on a déjà $\gamma ^{q}-1=0$ (hyp.), il en résulterait $\gamma -1=0,$ à cause que $p$ et $q$ sont premiers entre eux ; dans le second cas, on aurait $\beta -1=0.$

9. Ainsi, tant que $\beta$ et $\gamma$ sont différents de l’unité, la racine de l’équation $y^{m}-1=0$ a, lorsque $m=pq,$ la même propriété que la racine lorsque $m$ est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par les puissances successives de $\beta \gamma .$

10. Comme les valeurs de $\beta$ sont au nombre de $p$ et celles de $\gamma$ au nombre de $q,$ les valeurs de $\beta \gamma$ seront au nombre de $pq,$ c’est-à-dire de $m,$ et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles, parce qu’elles peuvent être représentées par $\beta ^{r}\gamma ^{s},$ en faisant successivement $r=1,2,3,\ldots ,p$ et $s=1,2,3,\ldots ,q,$ à cause que les nombres $p$ et $q$ sont supposés premiers ; d’où il suit que toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ $m$ étant $=pq,$ peuvent être représentées par les produits $\beta \gamma$ des racines des équations $y^{p}-1=0,$ $y^{q}-1=0,$ $p$ et $q$ étant des nombres premiers.

On prouvera de même que, si $m=pqr,$ en supposant $p,q,r$ des nombres premiers, et que $\beta ,\gamma ,\delta$ soient respectivement des racines quelconques des trois équations $y^{p}-1=0,\ y^{q}-1=0,\ y^{r}-1=0,$ le