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produit $\beta \gamma \delta ,$ en donnant successivement à $\beta ,\gamma ,\delta$ toutes leurs valeurs, pourra représenter toutes les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ et que celles de ces racines qui seront exprimées par $\beta \gamma \delta ,$ en excluant l’unité des valeurs de $\beta ,\gamma ,\delta ,$ auront les mêmes propriétés que les racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ lorsque $m$ est un nombre premier.

Et ainsi de suite.

11. Mais, si l’on avait $m=p^{2},$ $p$ étant un nombre premier, en prenant $\beta$ pour une quelconque des racines de l’équation $y^{p}-1=0,$ il est clair que $\beta$ serait aussi racine de l’équation $y^{m}-1=0,$ et que ${\sqrt[{p}]{\beta }}$ le serait aussi. On prendrait donc, dans ce cas, pour $\gamma$ une quelconque des valeurs de ${\sqrt[{p}]{\beta }},$ et l’on aurait également $\beta \gamma$ pour l’expression de toutes les racines de $y^{m}-1=0.$

De même, si $m=p^{3},$ en conservant les valeurs de $\beta$ et $\gamma ,$ on ferait de plus $\delta ={\sqrt[{p}]{\gamma }},$ et l’on aurait $\beta \gamma \delta$ pour l’expression de toutes les racines de $y^{m}-1=0,$ en donnant successivement à $\beta ,\gamma ,\delta$ toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.

12. Donc, en général, si $m=p^{\mu }q^{\nu }r^{\varpi }\ldots ,$ et que $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ soient respectivement des racines quelconques des équations

$y^{p}-1=0,\quad y^{q}-1=0,\quad y^{r}-1=0,\quad \ldots ,$

$p,q,r,\ldots$ étant des nombres premiers ; si l’on fait de plus

$\beta '={\sqrt[{p}]{\beta }},\ \ \beta ''={\sqrt[{p}]{\beta '}},\ldots ,\ \ \gamma '={\sqrt[{q}]{\gamma }},\ \ \gamma ''={\sqrt[{q}]{\gamma '}},\ldots ,\ \ \delta '={\sqrt[{r}]{\delta }},\ \ \delta ''={\sqrt[{r}]{\delta '}},\ldots ,$

on aura

$\beta \beta '\beta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots$

pour l’expression générale des racines de l’équation $y^{m}-1=0,$ en donnant successivement à $\beta ,\beta ',\ldots ,\ \gamma ,\gamma ',\ldots ,\ \delta ,\delta ',\ldots$ toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.

On voit par là que, pour avoir les racines de l’équation à deux termes $y^{m}-1=0,$ lorsque $m$ n’est pas un nombre premier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposants soient les nombres premiers qui composent le nombre $m.$