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13. Enfin nous remarquerons que, comme l’équation $y^{m}-1=0$ manque de tous les termes intermédiaires, si l’on nomme $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ses racines, on aura, par les formules générales données au commencement de la Note VI,

${\begin{array}{llll}1+\alpha &+\beta &+\gamma &+\ldots =0,\\1+\alpha ^{2}&+\beta ^{2}&+\gamma ^{2}&+\ldots =0,\\1+\alpha ^{3}&+\beta ^{3}&+\gamma ^{3}&+\ldots =0,\\\end{array}}$

${\begin{aligned}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&1+\alpha ^{m-1}+\beta ^{m-1}+\gamma ^{m-1}+\ldots =0\,;\end{aligned}}$

ensuite, à cause de $\alpha ^{m}=1,\ \beta ^{m}=1,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}1+\alpha ^{m}\quad +\beta ^{m}\ \ \ +\gamma ^{m}\quad +\ldots =&m,\\1+\alpha ^{m+1}+\beta ^{m+1}+\gamma ^{m+1}+\ldots =&0,\\1+\alpha ^{m+2}+\beta ^{m+2}+\gamma ^{m+2}+\ldots =&0,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Ces différentes remarques nous seront fort utiles dans la suite.

14. Ces préliminaires posés, considérons la fonction

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

dans laquelle $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}$ sont les racines de l’équation proposée du degré $m,$ et $\alpha$ est une racine quelconque de l’équation $y^{m}-1=0,$ de manière que l’on ait $\alpha ^{m}=1.$

On voit d’abord que cette expression est une fonction invariable des quantités $\alpha ^{0}x',\alpha x'',\alpha ^{2}x''',\ldots ,$ et qu’ainsi le résultat des permutations des racines $x',x'',x''',\ldots$ entre elles sera le même que celui des puissances de $\alpha$ entre elles.

15. Il s’ensuit de là que $\alpha t$ sera le résultat des permutations simultanées de $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',\ldots ,$ $x^{(m)}$ en $x',$ à cause de $\alpha ^{m}=1.$ De même, $\alpha ^{2}t$ sera le résultat des permutations simultanées de $x'$ en $x''',$ $x''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ $x^{(m-1)}$ en $x'$ et $x^{(m)}$ en $x'',$ à cause de $\alpha ^{m}=1,\ \alpha ^{m+1}=\alpha ,$ et ainsi de suite.