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ces racines ; car, comme les changements de place de $x''$ répondent aux substitutions de $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots$ au lieu de $\alpha ,$ et que la quantité $\alpha$ a disparu de l’équation en $\theta ,$ il s’ensuit que, dans l’expression de ses coefficients, on pourra regarder $x''$ comme fixe, ainsi que $x'.$

Sans employer la voie de l’élimination, on pourra parvenir, directement à cette équation en $\theta$ au moyen de ses racines $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots ,$ dont l’expression est connue car, en représentant cette équation par

$\theta ^{m-1}-\mathrm {T} \theta ^{m-2}+\mathrm {U} \theta ^{m-3}-\ldots =0,$

on aura, par les formules connues,

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&\theta '\ \ \ \,+\theta ''\quad +\theta '''\quad +\ldots ,\\\mathrm {U} =&\theta '\theta ''+\theta '\theta '''+\theta ''\theta '''+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

21. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefficients en les déduisant des sommes des puissances successives des racines $\theta ',\theta '',\ldots$ jusqu’à la $m$^ième puissance. En effet, si l’on élève successivement le polynôme

$\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{m-1}\xi ^{(m-1)}$

aux puissances 2^ième, 3^ième, …, et qu’on dénote par $\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4},\ldots$ les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de la quantité $\alpha ,$ après avoir substitué partout $1$ pour $\alpha ^{m},$ $\alpha$ pour $\alpha ^{m+1},$ et ainsi des autres ; que, de plus, on fasse pour l’uniformité

$\theta ^{0}=\xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(m-1)},$

en sorte que les quantités $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots$ répondent aux racines $1,\alpha ,\beta ,\ldots ,$ il est facile de voir qu’on aura, par les propriétés de ces racines exposées plus haut, $m\xi ^{0},m\xi _{2},m\xi _{1},\ldots$ pour les sommes des puissances 1^ère, 2^ième, 3^ième, … des quantités $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots .$

Or $\theta ^{0}=\mathrm {A} ^{m}$ (n^o 17) ; donc, si l’on retranche respectivement des quantités $m\xi ^{0},m\xi _{2},m\xi _{3},\ldots$ les puissances de $\mathrm {A} ^{m},$ les restes $m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m},$ $m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m},$ $m\xi _{3}-\mathrm {A} ^{3m},\ldots$ sont les sommes des $m-1$ racines $\theta ',\theta '',$