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Cette équation est d’abord, comme l’on voit, d’un degré moindre d’une unité que l’équation proposée ; mais, étant d’une forme convertible, elle peut toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié ; de plus, par la belle découverte de M. Gauss, on peut la résoudre à l’aide d’autant d’équations qu’il y a de facteurs premiers dans $m-1,$ et qui ne montent qu’aux degrés marqués par ces facteurs. On peut même la résoudre directement sans passer par aucune équation intermédiaire, comme on le verra dans la Note suivante.

24. Nous avons supposé (n^o 18) que l’exposant $m$ du degré de l’équation est un nombre premier ; considérons maintenant le cas où cet exposant est un nombre composé. Dans ce cas, nous avons vu que les racines de l’équation $y^{m}-1=0$ sont de deux espèces les unes sont communes à l’équation $y^{n}-1=0,$ $n$ étant un diviseur de $m\,;$ et leurs puissances ne peuvent pas représenter toutes les racines de l’équation primitive, parce qu’elles n’ont de valeurs différentes que jusqu’aux puissances $n,$ après quoi les mêmes valeurs reviennent toujours dans le même ordre ; les autres n’appartiennent qu’à l’équation $y^{m}-1=0$ et jouissent des mêmes propriétés que les racines de cette équation lorsque $m$ est un nombre premier. Ainsi, il faudrait d’abord borner le raisonnement du n^o 18 aux seules racines, qui sont propres à l’équation $y^{m}-1=0,$ et modifier en conséquence les conclusions que nous en avons déduites relativement à l’équation en $\xi .$ De plus, en n’employant même que ces racines pour $\alpha ,$ on ne peut pas dire que la substitution d’une puissance quelconque de $\alpha$ à la place de $\alpha$ dans la série $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{m-1}$ redonne toujours les mêmes termes, parce que, si $m=np,$ la substitution de $\alpha ^{n}$ pour $\alpha$ ne donnera jamais que les puissances $\alpha ^{n},\alpha ^{2n},\ldots ,\alpha ^{np},$ à cause de $\alpha ^{np}=1.$ Il résulte de là que les quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ ne pourront plus être les racines d’une même équation, mais devront dépendre d’équations différentes qu’il_ faudrait chercher séparément, ce qui allongerait le calcul.

Mais, en employant les racines communes à l’équation $y^{n}-1=0,$ la méthode générale se simplifie et la résolution du degré $m$ se réduit