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à celle d’autant d’équations des degrésinférieurs $n$ que l’exposant $m$ a de facteurs premiers ; c’est ce que nous allons développer.

25. Supposons donc que l’équation $m$ ait un diviseur $n\,;$ nous avons vu [(n^o  7) que toutes les racines de l’équation $y^{n}-1=0$ sont communes à l’équation $y^{m}-1=0\,;$ ainsi, dans la fonction

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},$

nous pourrons prendre pour $\alpha$ une des racines de l’équation $y^{n}-1=0.$ On aura alors

$\alpha ^{n}=1,\ \ \alpha ^{n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots ,\ \ \alpha ^{2n}=1,\ \ \alpha ^{2n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{2n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots$

jusqu’à $\alpha ^{m}=1,$ et l’expression de $t$ se réduira à cette forme plus simple

$t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} ''+\alpha ^{2}\mathrm {X} '''+\ldots +\alpha ^{n-1}\mathrm {X} ^{(n)},$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ &=x'\ \ +x^{(n+1)}+x^{(2n+1)}+\ldots +x^{(m-n+1)},\\\mathrm {X} ''\ &=x''\ +x^{(n+2)}+x^{(2n+2)}+\ldots +x^{(m-n+2)},\\\mathrm {X} '''&=x'''+x^{(n+3)}+x^{(2n+3)}+\ldots +x^{(m-n+3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(n)}&=x^{(n)}+x^{(2n)}\ +x^{(3n)}\quad +\ldots +x^{(m)}.\end{aligned}}$

Regardant maintenant les quantités $\mathrm {X',X'',X''',\ldots ,X} ^{(n)}$ n) comme les racines d’une équation du degré $n\,;$ il est clair qu’on pourra appliquer à la fonction $t$ les mêmes raisonnements qu’on a faits dans les n^os 15 et 16, et qu’on parviendra à des conclusions semblables.

Ainsi, en faisant $t^{n}=\theta ,$ on aura, à cause de $\alpha ^{n}=1,$ une expression de $\theta$ de la forme

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\ldots +\alpha ^{n-1}\xi ^{(n-1)},$

dans laquelle les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions connues de $\mathrm {X',X'',X''',\ldots ,}$ lesquelles auront la propriété d’être invariables par les échanges simultanés de $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ''',\ldots ,$ $\mathrm {X} ^{(n)}$ en $\mathrm {X} '.$