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valeurs différentes, et ne dépendront par conséquent que d’une équation de ce degré.

Ainsi, les coefficients de l’équation du degré $1.2.3\ldots (n-2),$ qui sont des fonctions rationnelles de ceux de l’équation en $\mathrm {X} ,$ dépendront d’une équation de ce degré.

Donc, en donnant à ces coefficients toutes les valeurs qui répondent aux racines de cette dernière équation, et multipliant ensemble toutes les équations résultantes, on aura enfin une équation du degré

${\frac {1.2.3\ldots m}{1.2.3\ldots n(1.2.3\ldots p)^{n}}}\times 1.2.3\ldots (n-2)\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {1.2.3\ldots m}{(n-1)n(1.2.3\ldots p)^{n}}}\,;$

ce sera l’équation d’où dépendront les coefficients de l’équation en $\xi$ du degré $n-1,$ dont les racines seront les valeurs de $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots .$ Ainsi, on peut dire que c’est à une équation de ce degré que la résolution de l’équation proposée se réduira en dernière analyse.

28. Pour achever la résolution de l’équation proposée en $x,$ il faudra encore tirer les valeurs de ses racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}$ de celles des racines $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ (n^o 25). Pour cela, on regardera les $p$ racines $x',x^{(n+1)},\ldots$ qui composent la valeur de $\mathrm {X} '$ comme étant les racines d’une équation du $p$^ième degré et qui sera de cette forme

$x^{p}-\mathrm {X} 'x^{p-1}+\lambda x^{p-2}-\mu x^{p-3}+\nu x^{p-4}-\ldots =0,$

dans laquelle les coefficients $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ seront inconnus ; mais, comme cette équation est censée renfermer $p$ des $m$ racines de l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

où $m=np,$ elle devra être un diviseur de celle-ci ; par conséquent, il n’y aura qu’à faire la division ordinaire, en supposant nuls les termes affectés de $x^{p-1},x^{p-2},\ldots$ dans le reste. On aura, par ce moyen, $p$ équations en $\mathrm {X} ',$ $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ dont les $p-1$ premières donneront les valeurs de $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ en $\mathrm {X} '$ par des équations linéaires. Ainsi, $\mathrm {X} '$ étant connu, on aura aussi $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ et il ne s’agira plus que de résoudre cette