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équation du degré $p.$ De même, en substituant la valeur de $\mathrm {X} ''$ à la place de celle de $\mathrm {X} ',$ on aura l’équation qui donnera les racines $x'',$ $x^{(n+2)},x^{(2n+2)},\ldots ,$ et ainsi de suite.

29. On voit par là que cette dernière méthode revient à décomposer l’équation du degré $m=np$ en $n$ équations du degré $p\,;$ mais, si pour cette décomposition on suivait la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-p+1)}{1.2.3\ldots p}},$

comme nous l’avons vu dans la Note X, au lieu que celle-ci ne demande que la résolution du degré

${\frac {1.2.3\ldots m}{(n-1)n(1.2.3\ldots p)^{n}}},$

qui est toujours moindre que le précédent.

Soit $m=4,\ n=2,\ p=2\,;$ ces degrés seront

${\frac {4.3}{1.2}}=6\quad {\text{et}}\quad {\frac {1.2.3.4}{2(2)^{2}}}=3.$

Soit $m=6,\ n=2,\ p=3\,;$ on aura

${\frac {6.5.4}{1.2.3}}=20,\quad {\frac {1.2.3.4.5.6}{2(1.2.3)^{2}}}=10,$

et, si l’on fait $n=3,\ p=2,$ on aura

${\frac {6.5}{1.2}}=15,\quad {\frac {1.2.3.4.5.6}{2.3(1.2)^{3}}}=15,$

et ainsi du reste.

30. Appliquons la théorie précédente aux équations du second, du troisième et du quatrième degré.

Soit d’abord l’équation du second degré

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0,$

dont les racines soient $x'$ et $x''.$