On a ici
qu’on peut regarder comme un nombre premier ; prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle \gamma ^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daf77d7600aad5faf93094d8ea942ca6f86572e)
on fera
![{\displaystyle t=x'+\alpha x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70ac323b0a10175a9904a9f130e3f5d3bd6681c)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle \theta =t^{2}=x'^{2}+x''^{2}+2\alpha x'x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a605e8a29232b4f84e6f906f74c009c075a1c17)
à cause de
donc
fonction invariable des racines
et ![{\displaystyle x''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271c96f56d28b862c163505f4e3899c45290240d)
En effet, on a
et par conséquent
Or l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c645758ef1110b32340677f06fab97cdd397139a)
donne
donc
et (no 47)
Ainsi les expressions des deux racines seront (nos 16, 17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ =&\mathrm {\frac {A+{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\\x''=&\mathrm {\frac {A-{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf0c518f0b430d2a64c15a13584fa358f27d0d8)
comme on le sait depuis longtemps.
31. Soit maintenant l’équation générale du troisième degré
![{\displaystyle x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558f2c39cb5c6b2a4885c1d8651d928805a6619f)
dont les racines soient ![{\displaystyle x',x'',x'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01aaf06f7d45fcde4751dcfb5f56999851800d91)
On a ici
nombre premier ; la fonction
sera donc, en prenant pour
une racine de
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49fa5d01c22087c4699ae636beb5ee2f4078d2e)
et la fonction
sera, à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{3}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab76e23758f0b089dbc95c535821403779858df)
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e946e402f06568c9c1d0bb7becec9b861b6f3045)
où l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+6x'x''x''',\\\xi '\ =&3\left(x'^{2}x''\ +x''^{2}x'''+x'''^{2}x'\right),\\\xi ''=&3\left(x'^{2}x'''+x''^{2}x'\ \ +x'''^{2}x''\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3aabbf5d610ca3c953c5040aff7dc49b2c25ce)