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On a ici $m=2,$ qu’on peut regarder comme un nombre premier ; prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$\gamma ^{2}-1=0,$

on fera

$t=x'+\alpha x'',$

d’où l’on déduit

$\theta =t^{2}=x'^{2}+x''^{2}+2\alpha x'x'',$

à cause de $\alpha ^{2}=1\,;$ donc $\xi '=2x'x'',$ fonction invariable des racines $x'$ et $x''.$

En effet, on a $\mathrm {B} =x'x'\,;$ et par conséquent $\xi '=2\mathrm {B} .$ Or l’équation

$y^{2}-1=0$

donne $y=1,\ -1\,;$ donc $\alpha =-1$ et (n^o 47) $\theta '=\mathrm {A^{2}-2\xi '=A^{2}-4B} .$ Ainsi les expressions des deux racines seront (n^os 16, 17)

${\begin{aligned}x'\ =&\mathrm {\frac {A+{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\\x''=&\mathrm {\frac {A-{\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} ,\end{aligned}}$

comme on le sait depuis longtemps.

31. Soit maintenant l’équation générale du troisième degré

$x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0,$

dont les racines soient $x',x'',x'''.$

On a ici $m=3$ nombre premier ; la fonction $t$ sera donc, en prenant pour $\alpha$ une racine de $y^{3}-1=0,$

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',$

et la fonction $\theta =t^{3}$ sera, à cause de $\alpha ^{3}=1,$

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',$

où l’on aura

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+6x'x''x''',\\\xi '\ =&3\left(x'^{2}x''\ +x''^{2}x'''+x'''^{2}x'\right),\\\xi ''=&3\left(x'^{2}x'''+x''^{2}x'\ \ +x'''^{2}x''\right).\end{aligned}}$