Les quantités
seront donc les racines d’une équation du second degré, dont les coefficients dépendront d’une équation du degré
c’est-à-dire du premier degré, et qui seront par conséquent des fonctions rationnelles de ceux de l’équation proposée. En effet on voit que, par toutes les permutations possibles entre les trois racines
les deux fonctions
restent les mêmes ou se changent l’une dans l’autre, de sorte qu’en les supposant racines de l’équation
![{\displaystyle \xi ^{2}-\mathrm {M} \xi +\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fe20e0b3ec938118f59cae60f4a73c27645e25)
on aura
fonctions invariables de
et par conséquent déterminables par les coefficients
de la proposée.
En effet on trouve facilement, par les formules de la Note X (no 4),
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M=\xi '+\xi ''=+AB-9C} ,\\&\mathrm {N\ =\xi '\xi ''=9B^{3}+9\left(A^{3}-6AB\right)C+81C^{2}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9594fb54bcc02956617ae442441e0f8a4f20bb7)
Ainsi l’on n’aura à résoudre que l’équation du second degré
![{\displaystyle \mathrm {\xi ^{2}-(3AB-9C)\xi +9B^{3}+9(A^{3}-6AB)C+81C^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5f862cf99a62504e4a2e5faa4b333096210806)
dont on prendra les deux racines pour les valeurs de
et ![{\displaystyle \xi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b023e54dc790d885871cc605e524806072718eb)
Faisant ensuite (no 17)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ =&\mathrm {A} ^{3}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi '',\\\theta ''=&\mathrm {A} ^{3}+(\beta -1)\xi '\,+\left(\beta ^{2}-1\right)\xi '',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedbd701e47ad9ac010f2c451beeebaaa86b946f)
et substituant, dans les formules du no 16,
au lieu de
et
au lieu de
(no 17), on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt[{3}]{\theta '}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta ^{2}{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +\alpha {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\end{aligned}}\right\}\quad {\text{ou bien}}\quad \left\{{\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt[{3}]{\theta '}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +\beta {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\alpha {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +\alpha {\sqrt[{3}]{\theta '}}+\beta {\sqrt[{3}]{\theta ''}}}{3}},\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c93beb7a98fdd37291f14c48dbd59b472d08a3)
à cause de
et par conséquent ![{\displaystyle \beta ^{2}=\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884876ab56c439055fd3f2f0cb1751d1391ac427)