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Et les deux quantités $\alpha ,\beta$ seront (n^o 23) les racines de l’équation

$y^{2}+y+1=0,$

laquelle donne

$\alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.$

32. Mais on peut avoir des expressions plus simples par le moyen de l’équation en $\theta$ qui sera ainsi du second degré.

En représentant cette équation par

$\theta ^{2}-\mathrm {T} \theta +\mathrm {U} =0,$

on trouvera les valeurs de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ par les formules données plus haut (n^o 21).

On aura ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} \left(3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3}\right)}{2}}-{\frac {3\xi _{2}-\mathrm {A} ^{6}}{2}},\end{aligned}}$

où $\xi _{2},$ est le premier terme dégagé de $\alpha$ dans le développement de $\left(\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''\right)^{3},$ et l’on trouve, à cause de $\alpha ^{3}=1,$

$\xi _{2}=\left(\xi ^{0}\right)^{2}+2\xi '\xi ''.$

Or on a (n^o 17)

$\xi ^{0}=\mathrm {A} ^{3}-\xi '-\xi ''=\mathrm {A^{3}-M} \,;$

donc, puisque $\xi '\xi ''=\mathrm {N} ,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-3M} ,\\&\mathrm {U={\frac {T^{2}}{2}}-{\frac {3\left(A^{3}-M\right)^{2}+6N-A^{6}}{2}}} ,\end{aligned}}$

et, substituant les valeurs de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ trouvées ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-9AB+27C} ,\\&\mathrm {U=A^{6}-9A^{4}B+27A^{2}B^{2}-27B=\left(A^{2}-3B\right)^{3}} .\end{aligned}}$

L’équation en $\theta$ sera donc

$\theta ^{2}-\mathrm {\left(2A^{3}-9AB+27C\right)\theta +\left(A^{2}-3B\right)^{3}} =0,$