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dont, les deux racines étant prises pour $\theta '$ et $\theta '',$ et substituées dans les expressions précédentes de $x',x'',x''',\ldots ,$ on aura la résolution la plus simple de l’équation du troisième degré.

33. Venons à l’équation du quatrième degré représentée par la formule

$x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0.$

Comme on a ici $4=2.2,$ il est plus simple de suivre la méthode du n^o 25 ; en faisant $n=2,$ on prendra pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

en sorte que $\alpha ^{2}=1.$ On fera ainsi

$t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} '',\quad \mathrm {X} '=x'+x''',\quad \mathrm {X} ''=x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

De là, on aura

$\theta =\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{et}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .$

Ainsi l’équation en $\xi$, dont $\xi '$ est racine, ne sera que du degré $n-1$ c’est-à-dire du premier degré, et ses coefficients ne dépendront que d’une équation du degré ${\frac {1.2.3.4}{2(2)^{2}}}=3$ (n^o 27), de sorte qu’on aura en $\xi '$ une équation du troisième degré, telle que

$\xi '^{3}-\mathrm {M\xi '^{2}+N\xi '-P} =0.$

Les racines de cette équation seront les valeurs de

$\xi '=2\mathrm {X'X''} =2\left(x'+x'''\right)\left(x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)$

qui proviendront des permutations entre les trois racines, et il est facile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les trois suivantes :

${\begin{aligned}&2\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right).\end{aligned}}$

D’après ces racines, on pourra former les coefficients $\mathrm {M,N} ,$ qui se