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trouveront exprimés par des fonctions invariables de $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et seront déterminables en $\mathrm {A,B,C,D} .$

34. Pour faciliter cette recherche, nous remarquerons que l’on a, par l’équation proposée,

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=x'x''+x'x'''+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x'''+x''\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x''\ +x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right)+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''\ x''',\end{aligned}}$

d’où il suit que, si l’on fait $\xi '=2\mathrm {B} -2u,$ l’équation en $\xi '$ se transformera en une équation en $u$ dont les racines seront

$x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''.$

Soit

$\mathrm {R} =x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''=\mathrm {B} ,$

et l’on trouvera de la même manière, en employant les formules données dans la Note X, les valeurs suivantes :

$\mathrm {S=AC-4D,\quad T=\left(A^{2}-4B\right)D+C^{2}} .$

Désignons par $u'$ une quelconque des racines de l’équation en $u$

$u^{3}-\mathrm {B} u^{2}+\mathrm {\left(AC-4D\right)} u-\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)} \mathrm {D} -\mathrm {C} ^{2}=0\,;$

on aura $\xi '=2\mathrm {B} -2u',$ et de là, en faisant $\alpha =-1$ et $n=2,$ on aura

$\theta '=\mathrm {A^{2}-2\xi '=A^{2}-4B} +4u',$

et enfin

$\mathrm {X} '={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}}.$

35. Maintenant, comme $\mathrm {X} '=x'+x''',$ on peut regarder $x'$ et $x'''$ comme les deux racines de l’équation du second degré (n^o 28)

$x^{2}-\mathrm {X} 'x+\lambda =0,$