et, pour avoir
il n’y aura qu’à diviser l’équation proposée du quatrième degré par celle-ci ; le premier terme du reste, égalé à zéro, donnera
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {\frac {X'^{3}-AX'^{2}+BX'-C}{2X'-A}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52133a0c522252159a5f50c5e3ffb1103a7b987a)
Ainsi, en résolvant l’équation du second degré, on aura
![{\displaystyle x'={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},\quad x'''={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe2084fefdfb372b2989585279172edb1a70804)
et, comme
on aura les racines
en changeant dans ces expressions
en
ce qui ne demande que de changer le signe du radical ![{\displaystyle {\sqrt {\theta '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1beb28e8db8c08aa09182aa3546e51e670b2c4e)
Cette solution revient à celle de Descartes, dans laquelle on résout l’équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.
36. On peut simplifier ces formules en substituant d’abord
à la place de
ce qui donnera cette équation en
![{\displaystyle \theta ^{3}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)\theta ^{2}+\left(3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D\right)\theta } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581f6b9551ac5f6c7984e1d2a7a83fd332a0e8a1)
![{\displaystyle -\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456e3e6be03fc8d365c3ceef026f732f4e30ae58)
dont
sera une quelconque des racines à volonté ; mais, en employant les trois racines, on peut avoir tout d’un coup les quatre racines ![{\displaystyle x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd51df19e5881df1686901ca4a0090c13eb11124)
Car, en faisant
on a
![{\displaystyle t=x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cf7a0a5e429ceed542d4d4a3b3a5f8a62b51a2)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4451d4d6dd75619104c30be8b2bc18ad3a132f9)
Cette expression de
n’est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes
![{\displaystyle \left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2b69d5cff0a694b0c0d571698e2a9d76986722)
qui seront, par conséquent, les trois racines de l’équation en ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)