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et, pour avoir $\lambda ,$ il n’y aura qu’à diviser l’équation proposée du quatrième degré par celle-ci ; le premier terme du reste, égalé à zéro, donnera

$\lambda =\mathrm {\frac {X'^{3}-AX'^{2}+BX'-C}{2X'-A}} .$

Ainsi, en résolvant l’équation du second degré, on aura

$x'={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},\quad x'''={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\mathrm {X} '^{2}-4\lambda }}}{2}},$

et, comme $\mathrm {X} ''=x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ on aura les racines $x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ en changeant dans ces expressions $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ ce qui ne demande que de changer le signe du radical ${\sqrt {\theta '}}.$

Cette solution revient à celle de Descartes, dans laquelle on résout l’équation du quatrième degré en deux du deuxième, moyennant une du troisième.

36. On peut simplifier ces formules en substituant d’abord $\mathrm {\frac {\theta -A^{2}+4B}{4}}$ à la place de $u,$ ce qui donnera cette équation en $\theta$

$\theta ^{3}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)\theta ^{2}+\left(3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D\right)\theta }$

$-\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} =0,$

dont $\theta '$ sera une quelconque des racines à volonté ; mais, en employant les trois racines, on peut avoir tout d’un coup les quatre racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

Car, en faisant $\alpha =-1,$ on a

$t=x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et, par conséquent,

$\theta =t^{2}=\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}.$

Cette expression de $\theta$ n’est en effet susceptible que de ces trois valeurs différentes

$\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2},\quad \left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)^{2},$

qui seront, par conséquent, les trois racines de l’équation en $\theta .$