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Nommons $\theta ',\theta '',\theta '''$ les trois racines de cette équation ; on aura donc ces trois équations

${\begin{aligned}x'+x'''-x''\ -x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt {\theta '}},\\x'+x''\ -x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt {\theta ''}},\\x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''\ -x'''=&{\sqrt {\theta '''}},\end{aligned}}$

qui, étant jointes à l’équation

$x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\mathrm {A} ,$

laquelle répond à $\alpha =1,$ serviront à déterminer chacune des quatre racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et l’on trouvera

${\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}}.\end{aligned}}$

37. Cette solution, la plus simple de toutes, est due à Euler ; mais elle présente une espèce d’ambiguïté, à cause des radicaux carrés qui peuvent être pris chacun en plus et en moins. En effet on voit que, en changeant le signe d’un quelconque de ces radicaux ou les signes des trois radicaux à la fois, on a un autre système de racines, représenté par les formules

${\begin{aligned}x'\ \ =&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x''\ =&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}-{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x'''=&{\frac {\mathrm {A} -{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}+{\sqrt {\theta '''}}}{4}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}+{\sqrt {\theta ''}}-{\sqrt {\theta '''}}}{4}}.\end{aligned}}$