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Au contraire, en ne changeant à la fois que les signes de deux des radicaux, on a toujours le même système de racines. Ainsi, pour savoir lequel des deux systèmes il faut employer, il n’y a qu’à déterminer le signe que doit avoir le produit ${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}.$

Or l’équation en $\theta$ donne

$\theta '\theta ''\theta '''=\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ^{2}\,;$

donc, extrayant la racine carrée,

${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\pm \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ,$

et, remettant pour ${\sqrt {\theta '}},\ {\sqrt {\theta ''}},\ {\sqrt {\theta '''}}$ leurs valeurs en $x',x'',\ldots ,$

$\left(x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''\right)=$

$\pm \mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} .$

Pour déterminer le signe ambigu, il n’y a qu’à considérer un cas particulier, par exemple, celui où les trois racines $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ sont nulles. Dans ce cas, on aura $\mathrm {A} =x',\ \mathrm {B=0,\ C=0,\ D=0} ,$ et l’équation précédente deviendra

$x'^{3}=\pm \mathrm {A} ^{3},$

par où l’on voit qu’il faut prendre le signe supérieur pour la rendre identique. Ainsi on aura nécessairement

${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ,$

d’où l’on doit conclure que, lorsque la quantité

$\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)}$

aura une valeur positive, il faudra employer le premier système des racines, et que, lorsque cette quantité aura une valeur négative, il faudra employer le second système, en donnant toujours aux radicaux ${\sqrt {\theta '}},\ {\sqrt {\theta ''}},\ {\sqrt {\theta '''}}$ une valeur positive^[1].

1. La règle donnée dans cet article, pour savoir lequel des deux systèmes d’équations on doit choisir dans chaque cas, n’est pas assez, générale.

   M. Bret, professeur de Mathématiques au Lycée de Grenoble, a trouvé un exemple où elle est en défaut.

   Soit l’équation

   $x^{4}+2x^{2}-8x+5=0\,;$