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38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoique applicable en général, ne conduit plus qu’à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.

Pour le cinquième degré, soit la formule générale

$x^{5}-\mathrm {A} x^{4}+\mathrm {B} x^{3}-\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x-\mathrm {E} =0,$

dont les racines soient $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.$

On aura ici $m=5$ nombre premier, et l’on fera

$t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$

où $\alpha$ est une des racines de l’équation

$y^{5}-1=0,$

autre que l’unité.

On fera ensuite $\theta =t^{5},$ et l’on parviendra à une équation en $\theta$ du

la transformée en $\theta$ est

$\theta ^{3}+16\theta ^{2}-256\theta -(64)^{2}=0,$

dont les racines sont $-16,\ -16,\ 16,$ ce qui donne

${\sqrt {\theta '}}=4,\quad {\sqrt {\theta ''}}=4{\sqrt {-1}},\quad {\sqrt {\theta '''}}=4{\sqrt {-1}}.$

La fonction $\mathrm {A^{3}-4AB+8C}$ est $>0,$ parce que $\mathrm {A} =0,\ \mathrm {C} =8\,;$ ainsi il faudrait prendre le premier système. On aurait d’abord

$x'=1+2{\sqrt {-1}},$

qui ne satisfait pas. En effet,

$\left(1+2{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-3+4{\sqrt {-1}},\quad \left(-3+4{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-7-24{\sqrt {-1}}\,;$

ainsi l’équation serait

$-7-24{\sqrt {-1}}-6+8{\sqrt {-1}}-8-16{\sqrt {-1}}+5=-16-32{\sqrt {-1}},$

ce qui n’est pas zéro.

Le deuxième système donnerait

$x'=-1-2{\sqrt {-1}}\,;$

donc

$-7-24{\sqrt {-1}}-6+8{\sqrt {-1}}+8+16{\sqrt {-1}}+5=0.$

Mais je remarque que l’analyse donne simplement la condition

${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\mathrm {A^{3}-4AB+8C} \,;$

d’où il suit que le produit des trois radicaux ${\sqrt {\theta '}},\ {\sqrt {\theta ''}},\ {\sqrt {\theta '''}}$ doit être égal et par conséquent