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degré $1.2.3.4,$ mais qui sera décomposable en $2.3$ équations chacune du quatrième degré, de manière que, en représentant chacune de ces équations par la formule

$\theta ^{4}-\mathrm {T} \theta ^{3}+\mathrm {U} \theta ^{2}-\mathrm {X} \theta +\mathrm {Y} =0,$

les coefficients $\mathrm {T,U} ,\ldots$ ne seront susceptibles chacun que de six valeurs différentes par toutes les permutations possibles entre les cinq racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ dont ces coefficients sont fonctions, et ces six valeurs ne dépendront par conséquent que d’une équation du sixième degré ; de sorte qu’en dernière analyse la résolution de l’équation du cinquième degré serait réduite à celle d’une équation du sixième. Il est donc inutile d’entreprendre ce calcul, dont on peut au reste voir le commencement dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (année 1771, p. 130 et suiv.)^[1].

39. Nous n’avons considéré jusqu’ici que des fonctions résolvantes de la forme $x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots \,;$ mais les principes que nous avons

de même signe que la quantité $\mathrm {A^{3}-4AB+8C} .$ Donc, si en prenant les trois radicaux positivement leur produit est de même signe que cette quantité, ce sera le premier système qui aura lieu ; mais, s’il est de signe contraire, alors il faudra donner le signe à l’un des trois radicaux, ce qui donnera le second système.

Dans l’exemple dont il s’agit, on a

${\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=4.4{\sqrt {-1}}.4{\sqrt {-1}}=-64,$

tandis que

$\mathrm {A^{3}-4AB+8C} =64.$

Ainsi c’est le second système qui a lieu.

La méprise vient de ce qu’on a supposé que le produit des trois radicaux, pris positivement, serait toujours positif.

Au reste, on peut ôter toute ambiguïté en prenant dans le premier système

${\sqrt {\theta '''}}={\frac {\mathrm {A^{3}-4AB+8C} }{{\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}}}.$

Dans l’exemple proposé, pour lequel

$\mathrm {A^{3}-4AB+8C} =64,$

ayant fait ${\sqrt {\theta '}}=4,\ {\sqrt {\theta ''}}=4{\sqrt {-1}},$ on aura ${\sqrt {\theta '''}}=-4{\sqrt {-1}}\,;$ alors le premier système donnera

$x'=1,\quad x''=-1+2{\sqrt {-1}},\quad x'''=1,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-1-2{\sqrt {-1}},$

véritables racines.

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.