employés pour trouver directement l’équation dont ces fonctions seraient les racines peuvent s’appliquer à toute autre fonction des racines de l’équation proposée. Il ne s’agit que de chercher toutes les différentes formes dont la fonction proposée est susceptible par toutes les permutations des racines entre elles, et former une équation qui ait toutes ces différentes formes pour racines. Les coefficients de cette équation, étant des fonctions invariables de ses racines, seront aussi des fonctions invariables des racines de la proposée et pourront, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients de celles-ci, qu’on trouvera toujours par les formules données dans la Note X.
On pourrait croire que chaque fonction différente des racines d’une même équation dépendrait aussi d’une équation différente ; cela a lieu, en effet, pour toutes les fonctions qui ne sont pas semblables, mais pour celles que j’appelle semblables, et dont la propriété consiste en ce que, par les mêmes permutations, elles varient ensemble ou demeurent les mêmes, on peut les faire dépendre toutes d’une même équation, parce qu’on peut toujours les exprimer par des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles.
J’ai donné dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de l’année 1771 (p. 203 et suiv.)[1] une méthode générale pour la détermination des fonctions semblables des racines d’une équation quelconque donnée ; je ne la rapporterai point ici, pour ne pas trop allonger cette Note.
40. Mais je ne saurais la terminer sans dire un mot du beau travail que feu Vandermonde a donné dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris (année 1771) sur la résolution générale des équations. Son Ouvrage et le mien ont été composés et lus à peu près en même temps, l’un à l’Académie des Sciences de Paris et l’autre à celle de Berlin. Vandermonde, en partant d’un principe général, est arrivé à des résultats semblables à ceux auxquels m’avait conduit l’examen des
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.
