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différentes méthodes connues jusqu’alors. Comme ce rapprochement est intéressant pour l’analyse, on sera bien aise de les trouver ici.

Le principe dont il s’agit est que l’expression analytique des racines d’une équation doit être une fonction de ces racines, telle qu’elle puisse égaler indifféremment chacune des racines, et qui ne soit qu’une fonctian de leur somme, de la somme de leurs produits deux à deux, de celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, afin que cette fonction puisse en même temps se déterminer par les seuls coefficients de l’équation donnée.

41. En examinant, conformément à ce principe, la résolution connue de l’équation du second degré, Vandermonde observe que la fonction qui donne cette résolution est de la forme

${\frac {a+b+{\sqrt {(a-b)^{2}}}}{2}},$

$a$ et $b$ étant les deux racines de l’équation. En effet, à cause de l’ambiguïté du radical carré, cette expression devient indifféremment $a$ ou $b,$ et, en même temps, les deux quantités $a+b$ et $(a-b)^{2}$ sont exprimables par les coefficients de l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0,$

car on a

$a+b=\mathrm {A} ,\quad (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=(a+b)^{2}-4ab=\mathrm {A^{2}-4B} ,$

ce qui donne la résolution connue

$\mathrm {\frac {A\pm {\sqrt {A^{2}-4B}}}{2}} .$

L’auteur applique ensuite le même principe aux équations du troisième degré, et il trouve que la fonction qui donne leur résolution peut se réduire à la forme

${\frac {a+b+c+{\sqrt[{3}]{(a+rb+r''c)^{3}}}+{\sqrt[{3}]{(a+r''b+rc)^{3}}}}{3}},$