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CHAPITRE II.

de la manière d’avoir les racines égales et les racines imaginaire des équations.

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15. Nous n’avons considéré, dans le Chapitre précédent, que les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B) ; supposons maintenant que cette équation ait des racines égales. Dans ce cas, il faudra (n^o 11) que l’équation (D) soit divisible autant de fois par $\upsilon$ qu’il y aura de combinaisons de racines égales deux à deux ; par conséquent, il faudra qu’il y ait dans cette équation (D) autant des derniers termes qui manquent ; ainsi on connaîtra par ce moyen combien de racines égales il y aura dans la proposée.

Mais on peut s’assurer d’avance si l’équation proposée a des racines égales, et même trouver ces racines indépendamment de l’équation (D) ; car puisque, dans le cas des racines égales, on a nécessairement $u=0$ (n^o 8), l’équation (C) du même numéro donnera pour ce cas $\mathrm {Y} =0\,;$ ainsi il faudra que les deux équations en $x,$ $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0,$ aient lieu en même temps lorsque $x$ est égal à une quelconque des racines égales de l’équation (B).

On cherchera donc, par les méthodes connues, le plus grand commun diviseur des deux polynômes $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ et, faisant ensuite ce diviseur, égal à zéro, on aura une équation qui ne sera composée que de racines égales de là proposée, mais élevées à une puissance moindre de l’unité.

Soit $\mathrm {R}$ le plus grand commun diviseur de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y} ,$ et $\mathrm {X} '$ le quotient de $\mathrm {X}$ divisé par $\mathrm {R} \,;$ il est facile de voir que l’équation $\mathrm {X} '=0$ con-