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où $a,b,c$ sont les trois racines de l’équation, et $r',r''$ les valeurs qui satisfont avec l’unité à l’équation

$r^{3}-1=0.$

En effet, cette expression devient d’abord égale à $a,$ à cause de $1+r'+r''=0\,;$ ensuite, comme chaque radical cube peut être multiplié par $r'$ ou $r'',$ la même expression deviendra $b$ ou $c$ en multipliant les deux radicaux par $r'$ et $r'',$ ou par $r''$ et $r',$ à cause de $r''=r'^{2}$ (n^o 5). De là Vandermonde conclut que, pour un nombre quelconque $m$ de racines, la fonction qui deviendra indifféremment $a,$ ou $b,$ ou $c,$ etc. sera de la forme

${\frac {1}{m}}\left[(a+b+c+\ldots )+{\sqrt[{m}]{(a+r'b+r''c+\ldots )^{m}}}\right.$

$+\left.{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{2}b+r''^{2}c+\ldots \right)^{m}}}+{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{3}b+r''^{3}c+\ldots \right)^{m}}}+\ldots \right],$

$r',r'',r''',\ldots$ étant avec l’unité les racines de l’équation

$r^{m}-1=0.$

Si l’on compare cette expression à celle de la racine $x'$ du n^o 16, on verra facilement leur accord, en considérant que $\theta$ est en général $=\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots \right)^{m}$ (n^o 15), et que $\theta ',\theta '',\ldots$ sont les valeurs de $\theta$ qui répondent aux racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation

$y^{m}-1=0,$

lesquelles sont désignées par $r',r'',r''',\ldots$ dans l’analyse de Vandermonde, et que, lorsque $m$ est un nombre premier, toutes les racines sont représentées également par $1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,$ par $1,\beta ,\beta ^{2},\beta ^{3},\ldots$ (n^o 5).

Pour déterminer les valeurs de $(a+r'b+r''c+\ldots )^{m}$ en fonctions des coefficients de l’équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l’Auteur emploie un algorithme ingénieux, fondé sur une notation particulière il ne cherche pas a priori, comme nous l’avons fait, le degré de l’équation d’où cette détermination doit