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posable en ${\frac {\mu -1}{2}}$ équations du second degré, telles que

$x^{2}-yx+1=0,$

dans lesquelles $y$ dépend d’une équation du degré ${\frac {\nu -1}{2}}$ de la forme

$y^{\nu }+y^{\nu -1}-(\nu -1)y^{\nu -2}-(\nu -2)y^{\nu -3}+{\frac {(\nu -2)(\nu -3)}{2}}y^{\nu -4}$

$+{\frac {(\nu -3)(\nu -4)}{2}}y^{\nu -5}-\ldots =0,$

où $\nu ={\frac {\mu -1}{2}},$ comme nous l’avons vu dans la Note X (n^o 14).

De cette manière on avait pu résoudre l’équation

$x^{7}-1=0,$

parce qu’elle se réduit à une équation du troisième degré ; mais on était arrêté à l’équation

$x^{11}-1=0,$

qui ne se réduit par ce moyen qu’à une du cinquième.

2. On en était là lorsque M. Gauss donna, en 1801, dans son excellent Ouvrage intitulé Disquisitiones arithmeticæ^[1], une méthode aussi originale qu’ingénieuse pour réduire la résolution de l’équation

$x^{\mu }-1=0,$

lorsque $\mu$ est un nombre premier, à la résolution d’autant d’équations particulières que le nombre $\mu -1$ contient de facteurs premiers, et dont les degrés soient exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l’équation

$x^{13}-1=0$

ne demande que la résolution de deux équations du second et d’une du troisième, parce que $13-1=2.2.3.$ L’équation

$x^{17}-1=0$

1. Cet Ouvrage vient d’être traduit en français, sous le titre de Recherches arithmétiques, chez Courcier.