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ne demande que la résolution de quatre équations du second degré, et ainsi de suite.

Mais, en appliquant les principes de la théorie de M. Gauss à la méthode exposée dans la Note précédente, j’ai reconnu qu’on pouvait obtenir directement la résolution complète de toute équation à deux termes dont le degré est exprimé par un, nombre premier, sans passer par aucune équation intermédiaire ni avoir à craindre l’inconvénient qui naît de l’ambiguïté des racines. C’est ce que je vais développer dans cette Note.

3. Soit l’équation à résoudre

$x^{\mu }-1=0,$

$\mu$ étant un nombre premier ; si l’on en sépare la racine $=1,$ elle s’abaisse à celle-ci du degré $\mu -1$

$x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0.$

Soit $r$ une racine quelconque de cette équation ; on pourra représenter ses $\mu -1$ racines par les termes de la série géométrique

$r,r^{2},r^{3},r^{4},\ldots ,r^{\mu -1},$

comme nous l’ayons démontré dans la Note précédente (n^o 5).

M. Gauss a eu l’idée ingénieuse et heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposants de $r$ une progression géométrique, en vertu du fameux théorème de Fermat sur les nombres premiers.

Par ce théorème, démontré d’abord par Euler et ensuite par tous ceux qui se sont occupés de la théorie des nombres, on sait que, si $\mu$ est un nombre premier et $a$ un nombre moindre que $\mu ,$ le nombre $a^{\mu -1}-1$ sera nécessairement divisible par $\mu ,$ de sorte que le reste de la division de $a^{\mu -1}$ par $\mu$ sera l’unité.

Euler a démontré de plus que, si en divisant tous les termes de la progression $a,a^{2},a^{3},\ldots ,a^{\mu -1}$ par $\mu$ il se trouve d’autres puissances de $a$ qui donnent aussi l’unité pour reste, les exposants de ces