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9. On pourra aussi, si l’on veut, se dispenser de calculer ces quantités $\xi ^{0}$ et $\theta ^{0},$ car, par ce que nous avons dans l’article 17 de la Note précédente, le terme ${\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}$ au (en faisant ici $m=\mu -1$) est toujours égal à la somme des racines que nous dénotons en général par $s,$ et l’expression de $\theta$ peut se mettre sous la forme

$\theta =s^{\mu -1}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,$

qui ne renferme pas $\xi ^{0},$ et il n’y a plus qu’à substituer $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ au lieu de $\alpha$ pour avoir les valeurs de $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots .$

De cette manière, la résolution de l’équation

$x^{\mu }-1=0$

ne dépendra que de la résolution de l’équation

$y^{\mu -1}-1=0,$

dont $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines. Or celle-ci est d’un degré moindre que la proposée mais de plus, comme $\mu -1$ est nécessairement un nombre composé, on aura les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ par celles d’autant d’équations $y^{\varpi }-1=0$ qu’il y aura de facteurs premiers $\varpi$ dans le nombre $\mu -1,$ comme on l’a vu dans la Note précédente (n^o 12).

10. Soit, par exemple, l’équation

$x^{5}-1=0$

dont on demande les racines. Cette équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec celle qui résulte de la méthode précédente.

En ôtant par la division la racine $1,$ on a l’équation du quatrième degré

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

dont les racines seront $r,r^{2},r^{3},r^{4}.$

Puisqu’on a ici $\mu =5,$ on trouve par la Table donnée ci-dessus (n^o 4) que la plus petite racine primitive est $2,$ de sorte qu’on a $a=2,$ et