Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/333

faudra substituer successivement pour $\alpha ,$ pour avoir les valeurs de $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\theta '''.$

On aura ainsi

$\theta '=25,\quad \theta ''=-15+20{\sqrt {-1}},\quad \theta '''=-15-20{\sqrt {-1}}.$

Donc, substituant ces valeurs dans l’expression de $r$ du n^o 8 et mettant $s=-1$ au lieu de ${\sqrt[{4}]{\theta ^{0}}}$ (n^o 9), on aura sur-le-champ

$r={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{-15+20{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{4}]{-15-20{\sqrt {-1}}}}\right).$

11. Mais on peut avoir une expression plus simple de la même racine $r$ en faisant usage de la méthode du n^o 25 de la Note précédente, laquelle est toujours applicable aux équations du genre que nous traitons, parce que l’exposant $\mu -1$ est nécessairement un nombre composé.

Supposant donc en général

$\mu -1=\nu \varpi ,$

et prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{\nu }-1=0,$

la fonction $t$ du n^o 6 deviendra de la forme

$t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}X^{\nu }} ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&r\ \ \ \,+r^{a^{\nu }}\ \ \ +r^{a^{2\nu }}\ \ \ +r^{a^{3\nu }}\ \ \ +\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&r^{a}\ \,+r^{a^{\nu +1}}+r^{a^{2\nu +1}}+r^{a^{3\nu +1}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +1}},\\\mathrm {X} '''=&r^{a^{2}}+r^{a^{\nu +2}}+r^{a^{2\nu +2}}+r^{a^{3\nu +2}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +2}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(\nu )}=&r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu -1}}+r^{a^{3\nu -1}}+r^{a^{4\nu -1}}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu -1}}.\end{aligned}}$

On formera ensuite la fonction $\theta =t^{\nu },$ laquelle, à cause de $\alpha ^{\nu }=1,$ sera de la forme

$\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}\xi ^{(\nu -1)},$