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et aura la propriété que les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ telles, qu’elles demeureront invariables en échangeant à la fois $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ''',$ $\mathrm {X} '''$ en $\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., et $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ en $\mathrm {X} '.$

Or on voit, par les expressions précédentes de $\mathrm {X',X''} ,\ldots ,$ qu’en y substituant $r^{a}$ à la place de $r,$ $\mathrm {X} '$ devient $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ devient $\mathrm {X} '''$ etc., et $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ devient $\mathrm {X} ',$ car $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ se change en

$r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu }}+r^{a^{3\nu }}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu }}\,;$

mais $\varpi \nu =\mu -1$ et $r^{a^{\mu -1}}=r,$ comme on l’a vu ci-dessus (n^o 5).

Donc les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ devront être des fonctions de $r$ telles qu’elles demeurent invariables par le changement de $r$ en $r^{a}\,;$ par conséquent, par le n^o 7, elles ne pourront être que de la forme $\mathrm {A+B} s,$ $\mathrm {A,B}$ étant des coefficients qui seront donnés par la formation de ces mêmes quantités, et $s$ dénotant la somme des racines $r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}},$ laquelle est $=-1$ par l’équation proposée de sorte que les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront toutes données, comme dans le cas précédent (n^o 10), et l’on aura sur-le-champ par les formules du n^o 25 de la Note précédente, en y mettant $\nu$ à la place de $n,$ et $s,$ somme des racines, à la place du terme ${\sqrt[{\nu }]{\theta ^{0}}},$

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&{\frac {s+\qquad {\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\qquad {\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&{\frac {s+\alpha ^{\nu -1}{\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\beta ^{\nu -1}{\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\mathrm {X} '''=&{\frac {s+\alpha ^{\nu -2}{\sqrt[{\nu }]{\theta '}}+\beta ^{\nu -2}{\sqrt[{\nu }]{\theta ''}}+\ldots }{\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Dans ces expressions $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont, avec l’unité, les racines de l’équation

$y^{\nu }-1=0,$

et $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ sont les valeurs de $\theta$ qui répondent à la substitution de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ au lieu de $\alpha .$

On n’aura pas besoin de calculer la valeur de $\xi ^{0}$ en employant