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l’expression de $\theta$ du n^o 9, laquelle devient ici

$\theta =s^{\nu }+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots .$

12. Le cas de $\nu ={\frac {\mu -1}{2}}$ mérite une attention particulière, parce qu’il donne la division de la circonférence en $\mu$ parties.

Soit donc $\nu ={\frac {\mu -1}{2}}$ et par conséquent $\varpi =2\,;$ on aura $\mathrm {X} '=r+r^{a^{\frac {\mu -1}{2}}}.$ Or, puisque $a^{\mu -1}-1$ est divisible par $\mu$ et que $a$ est supposé une racine primitive, $a^{\frac {\mu -1}{2}}-1$ ne sera pas divisible par $\mu \,;$ mais

$a^{\mu -1}-1=\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}+1\right)\,;$

donc, $\mu$ étant un nombre premier, $a^{\frac {\mu -1}{2}}+1$ sera divisible par $\mu \,;$ par conséquent, $-1$ sera le reste de la division de $a^{\frac {\mu -1}{2}}$ par $\mu \,;$ donc $r^{a^{\frac {\mu -1}{2}}}$ sera égal à ${\frac {1}{r}}.$

Ainsi on aura

$\mathrm {X} '=r+{\frac {1}{r}},\quad \mathrm {X} ''=r^{a}+{\frac {1}{r^{a}}},\quad \mathrm {X} '''=r^{a^{2}}+{\frac {1}{r^{a^{2}}}},\quad \ldots .$

Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes (n^o 1},

$r=\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }}+\sin {\frac {360^{\circ }}{\mu }}{\sqrt {-1}},$

et, en général,

$r^{m}=\cos {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }+\sin {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }{\sqrt {-1}}.$

Donc

$\mathrm {X} '=2\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }},\quad \mathrm {X} ''=2\cos {\frac {a}{\mu }}360^{\circ },\quad \mathrm {X} '''=2\cos {\frac {a^{2}}{\mu }}360^{\circ },\quad \ldots .$

Ainsi les valeurs de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ sont toutes réelles dans ce cas et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en $\mu$ parties.