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13. Ayant trouvé, par les formules générales du n^o 11, les racines $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots ,$ il faudra poursuivre le calcul de la même manière pour arriver à la racine $\nu$. On regardera donc les $\varpi$ racines qui composent la fonction $\mathrm {X} '$ comme les racines d’une équation du degré $\varpi ,$ et on les substituera pour $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\varpi )}$ dans l’expression générale de la fonction $t\,;$ on aura ainsi

$t_{1}=r+\alpha r^{a^{\nu }}+\alpha ^{2}r^{a^{2\nu }}+\alpha ^{3}r^{a^{3\nu }}+\ldots +\alpha ^{\varpi -1}r^{a^{(\varpi -1})\nu },$

où il faudra prendre pour $\alpha$ une racine de l’équation $y^{\varpi }-1=0.$

De là on aura, à cause de $\alpha ^{\varpi }=1,$

$\theta _{1}=t_{1}^{\varpi }=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1}+\alpha ^{2}\xi ''_{1}+\ldots +\alpha ^{\varpi -1}\xi _{1}^{(\varpi -1)}.$

(J’écris ici $t_{1},\theta _{1},\xi _{1}$ pour distinguer ces quantités de celles que nous avons désignées plus haut par $t,\theta ,\xi .$) Comme les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ sont en général des fonctions de $x',x'',x''',\ldots$ qui ne varient pas par les permutations de $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',$ etc., $x^{(\varpi )}$ en $x'$ (n^o 16, Note précédente), elles seront ici des fonctions de $r$ qui ne varieront pas en y changeant $r$ en $r^{a^{\nu }},$ puisque par ce changement les racines $r,r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},\ldots ,r^{a^{(\varpi -1)\nu }}$ deviennent respectivement $r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},r^{a^{3\nu }},\ldots ,r.$

Or il n’est pas difficile de prouver, par un procédé semblable à celui du n^o 8, que toute fonction rationnelle de $r$ qui aura la propriété d’être invariable par le changement de $r$ en $r^{a^{\nu }}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A+BX'+CX''+DX'''+\ldots +HX^{(\nu )}} ,$

en conservant les expressions de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ du n^o 11.

Car d’abord toute fonction rationnelle de $r$ peut se réduire à la forme (n^o 7)

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{a}+\mathrm {D} r^{a^{2}}+\mathrm {E} r^{a^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r^{a^{\mu -1}}\,;$

et, pour que cette fonction demeure la même en y changeant $r$ en $r^{a^{\nu }},$ il faut que les coefficients des termes qui renferment $r^{a^{\nu }},r^{a^{2\nu }},r^{a^{3\nu }},\ldots$ soient les mêmes que celui de $r,$ que les coefficients des termes qui renferment $r^{a^{\nu +1}},r^{a^{2\nu +1}},r^{a^{3\nu +1}},\ldots$ soient les mêmes que celui de $r^{a},$ que