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composent la fonction $\mathrm {X} '''$ en changeant simplement, dans l’expression générale de $\theta$, $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} ''',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., $\mathrm {X} ^{(\nu -1)}$ en $\mathrm {X} ',$ $\mathrm {X} ^{(\nu )}$ en $\mathrm {X} '',$ et ainsi de suite.

16. Si le nombre $\varpi$ n’est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs, décomposer encore l’opération précédente en d’autres plus simples.

Ainsi, si $\varpi =\nu '\varpi ',$ on pourra ne prendre pour $\alpha$ qu’une racine de l’équation

$y^{\nu '}-1=0,$

en sorte que $\alpha ^{\nu '}=1,$ et la fonction $t_{1}$ (n^o 11) deviendra

$t_{1}=\mathrm {X_{1}'+\alpha X_{1}''+\alpha ^{2}X_{1}'''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}X_{1}^{(\nu ')}} ,$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&r\qquad \ \ +r^{a^{\nu '\nu }}\quad \ \ +r^{a^{2\nu '\nu }}\quad +\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu ')\nu }},\\\mathrm {X} ''_{1}\ =&r^{a^{\nu '}}\quad \ \ +r^{a^{(\nu '+1)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+1)\nu }},\\\mathrm {X} '''_{1}=&r^{a^{2\nu '}}\quad \ +r^{a^{(\nu '+2)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+2)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+2)\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} _{1}^{(\nu ')}=&r^{a^{(\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(2\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(3\nu '-1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }}.\end{aligned}}$

On fera ensuite $\theta _{1}=t_{1}^{\nu '},$ et l’expression de $\theta _{1}$ étant développée sous la forme

$\theta _{1}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi _{1}'+\alpha ^{2}\xi _{1}''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}\xi _{1}^{(\nu ')},$

à cause de $a^{\nu '}=1,$ les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions de $\mathrm {X_{1},X_{1}'',X_{1}'''} ,\ldots$ qui ne changeront pas par le changement simultané de $\mathrm {X} _{1}'$ en $\mathrm {X} _{1}'',$ de $\mathrm {X} ''_{1}$ en $\mathrm {X} _{1}''',$ $\mathrm {X} '''_{1},$ en $\mathrm {X} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., $\mathrm {X} _{1}^{(\nu ')}$ en $\mathrm {X} '_{1}$ (Note précédente, n^o 25). Or on voit, par les expressions précédentes de $\mathrm {X_{1}',X_{1}''} ,\ldots ,$ que ces changements ont lieu en changeant simplement $r$ en $r^{a^{\nu }}.$ Donc les quantités $\xi _{1}^{0},\xi '_{1},\xi ''_{1},\ldots$ regardées comme des fonctions de $r,$ devront être invariables par le changement de $r$ en $r^{a^{\nu }}\,;$ par conséquent, elles seront nécessairement de la forme

$\mathrm {A+BX'+CX''+DX'''} +\ldots ,$

par ce qu’on a démontré ci-dessus (n^o 13).