Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/339

Donc, puisque les valeurs de $\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots ,$ sont déjà connues par l’opération précédente, celles de $\xi _{1}^{0},\xi '_{1},\xi ''_{1},\ldots$ seront connues aussi. Ainsi la fonction $\theta _{1}$ sera connue aussi, et de là on aura les valeurs des $\nu '$ racines $\mathrm {X'_{1},X''_{1},X'''_{1}} ,\ldots$ par des formules semblables à celles du n^o  11, en y changeant $\nu$ en $\nu ',$ $\mathrm {X}$ en $\mathrm {X} _{1},$ $\theta$ en $\theta _{1},$ et prenant pour $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation

$y^{\nu }-1=0,$

excepté l’unité.

On remarquera aussi que $s$ étant la somme des racines $\mathrm {X_{1}'+X_{1}''+X_{1}'''} +\ldots$ sera ici égal à $\mathrm {X} '.$

17. La valeur connue de $\mathrm {X} '_{1}$ ne donne que la somme des $\varpi '$ racines $r,r^{a^{\nu '\nu }},r^{a^{2\nu '\nu }},\ldots ,r^{a^{(\varpi '-1)\nu '\nu }}\,;$ il faudra, pour avoir la valeur de $r,$ regarder encore ces $\varpi '$ racines comme données par une équation du degré $\varpi ',$ et faire de nouveau

$t_{2}=r+\alpha r^{a^{\nu '\nu }}+\alpha ^{2}r^{a^{2\nu '\nu }}+\ldots +\alpha ^{\varpi '-1}r^{a^{(\varpi '-1})\nu '\nu },$

en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{\varpi '}-1=0\,;$

on fera ensuite

$\theta _{2}=t_{2}^{\varpi '}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2}+\ldots +\alpha ^{\varpi '-1}\xi _{2}^{(\varpi '-1)},$

et l’on suivra le même procédé que nous avons exposé dans les n^os 13 et suivants. Que si le nombre $\varpi '$ est composé de manière que l’on ait $\varpi '=\nu ''\varpi '',$ on pourra, pour éviter le développement d’une puissance trop haute, prendre pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{\nu ''}-1=0,$

ce qui donnera à $t_{2}$ la forme

$t_{2}=\mathrm {X_{2}'+\alpha X_{2}''+\alpha ^{2}X_{2}'''+\ldots +\alpha ^{\nu ''-1}X_{2}^{(\nu '')}} ,$

et l’on poursuivra le calcul comme ci-dessus, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un dernier facteur indécomposable.