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L’avantage de ces décompositions consiste dans l’abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes $t$ pour avoir les fonctions $\theta ,$ ce qui diminue la longueur du calcul, et ensuite dans l’abaissement des radicaux qui entrent dans l’expression de la racine $r,$ ce qui simplifie cette expression.

Telle est la marche générale et uniforme du calcul ; nous allons l’appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir, et nous reprendrons d’abord celui de l’équation

$x^{5}-1=0,$

que nous avons résolue ci-dessus (n^o 10).

18. On a ici $\mu -1=4=2.2\,;$ ainsi on fera $\nu =2,\ \varpi =2$ (n^o 11). On prendra pour $\alpha$ une des racines de l’équation

$y^{2}-1=0,$

de sorte que, à cause de $\alpha ^{2}=1,$ l’expression de la fonction $t$ du n^o 10 devient

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,\quad {\text{où}}\quad \mathrm {X} '=r+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{3}.$

De là on trouve, en faisant le carré de $t,$ à cause de $\alpha ^{2}=1,$

$\theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .$

Substituant les valeurs de $\mathrm {X',X''}$ en $r,$ et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de $r$ au-dessous de $r^{5},$ à cause de $r^{5}=1,$ on trouve

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&4+r+r^{2}+r^{3}+r^{4},\\\xi '=&2\left(r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\right).\end{aligned}}$

Donc, comme $r+r^{2}+r^{3}+r^{4},$ somme des racines, est $=-1,$ par l’équation, on a $\xi ^{0}=3$ et $\xi '=-2.$ Ainsi l’expression générale de $\theta$ deviendra $\theta =3-2\alpha .$

De là, à cause que les valeurs de $\alpha$ sont $1$ et $-1,$ en faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta '=5,$ et, comme

$s=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-1,$