Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/341

les formules du n^o 11 ci-dessus donneront

$\mathrm {X} '={\frac {-1+5{\sqrt {-1}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-5{\sqrt {-1}}}{2}}.$

On aura ainsi par la valeur de $\mathrm {X} '$ celle de $r+r^{2^{2}},$ somme de deux des quatre racines de la proposée. Pour avoir la racine $r$ en particulier, on fera de nouveau un calcul semblable, en considérant les deux racines $r$ et $r^{4}$ comme racines d’une équation du second degré.

On fera donc $t_{1}=r+\alpha r^{4},$ $\alpha$ étant, comme ci-dessus, racine de

$y^{2}-1=0,$

et de là, on aura

$\theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad {\text{où}}\quad \xi _{1}^{0}=r^{2}+r^{3},\quad {\text{et}}\quad \xi '_{1}=2r^{5}.$

Ici, on voit tout de suite que les valeurs de $\xi _{1}^{0}$ et $\xi '_{1}$ sont données au moyen des valeurs déjà connues de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''.$ En effet, à cause de $r^{5}=1,$ et par conséquent $r^{8}=r^{3},$ on a $\xi _{1}^{0}=r^{2}+r^{3}=\mathrm {X} ''$ et $\xi '_{1}=2.$ Donc on aura $\theta _{1}=\mathrm {X} ''+2\alpha \,;$ de là, en faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta '_{1}=\mathrm {X} ''-2,$ et la formule du n^o 14 donnera, $\varpi$ étant $=2,$

$r=\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X''-2}}}{2}} .$

Enfin, substituant ici les valeurs $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ trouvées ci-dessus, on aura

$r={\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},$

et, par les remarques du n^o 15, on aura aussi

$r^{4}=\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X''-2}}}{2}} ,$

et, changeant $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} '',$ $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ',$

$r^{2}=\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X'-2}}}{2}} ,\quad r^{3}=\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X'-2}}}{2}} \,;$