Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/342

d’où l’on aura, par les substitutions des valeurs de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} '',$

${\begin{aligned}r^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}}.\end{aligned}}$

Comme $5$ est un nombre premier, ces valeurs de $r,r^{2},r^{3},r^{4}$ seront les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation (n^o 3)

$x^{5}-1=0.$

19. Les expressions de ces racines coïncident avec celles qu’on trouve en résolvant l’équation

$x^{5}-1=0$

par les méthodes connues. Car on a d’abord, en divisant par $x-1,$

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

équation qui, étant mise sous la forme

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+x+{\frac {1}{x}}+1=0,$

devient

$u^{2}+u-1=0$

par la substitution de $x+{\frac {1}{x}}=u.$ On a ainsi l’équation

$x^{2}-xu+1=0,$

laquelle donne

$x={\frac {u\pm {\sqrt {u^{2}-4}}}{2}}\,;$

ensuite l’équation en $u$ donne $u={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}},$ de sorte que, en substi-