Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/348

du numéro précédent,

${\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&120+31X'+70X'',\\\xi '\ \ =&100+60X'+45X'',\\\xi ''\ =&\ \ 50+85X'+30X'',\\\xi '''=&60X'+65X'',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&50X'+75X''.\end{aligned}}$

Comme les valeurs de $\mathrm {X',X''}$ sont déjà connues par l’opération précédente, l’expression de la fonction de $\theta$ ne présente plus rien d’indéterminé, et elle donnera sur-le-champ la valeur de la première racine $r$ par la formule générale du n^o 14, en y faisant $\varpi =5$ et prenant pour $\alpha ,,\beta ,\gamma ,\delta$ les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation

$y^{5}-1=0,$

et pour $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les valeurs de $\theta$ qui répondent aux substitutions de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ à la place de $\alpha$ dans l’expression trouvée pour $\theta .$

26. Si dans les valeurs de $\xi ^{0},\xi ',\ldots$ on substitue celles de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ données dans le n^o 24, on a

${\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&\quad \ {\frac {139-39{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi '\ \ =&\quad \ {\frac {95+15{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi ''\ =&-{\frac {15-55{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi '''=&-{\frac {125+5{\sqrt {-11}}}{2}},\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-{\frac {125+25{\sqrt {-11}}}{2}}.\end{aligned}}$

Si ensuite, au lieu des racines $\alpha ,\gamma ,\delta ,$ on substitue les puissances $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ de la racine $\alpha ,$ qui les représentent, à cause que $5$ est un nombre