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premier, et qu’on rabaisse les puissances de $\alpha$ au-dessous de $\alpha ^{5},$ on aura

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&\xi ^{0}+\alpha \ \,\xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta ''\ =&\xi ^{0}+\alpha ^{2}\xi '+\alpha ^{4}\xi ''+\alpha \ \,\xi '''+\alpha ^{3}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta '''=&\xi ^{0}+\alpha ^{3}\xi '+\alpha \ \,\xi ''+\alpha ^{4}\xi '''+\alpha ^{2}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\xi ^{0}+\alpha ^{4}\xi '+\alpha ^{3}\xi ''+\alpha ^{2}\xi '''+\alpha \ \,\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\end{aligned}}$

et l’expression de la racine $r$ sera

$r={\frac {{\frac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {-11}}\right)+{\sqrt[{5}]{\theta '}}+{\sqrt[{5}]{\theta ''}}+{\sqrt[{5}]{\theta '''}}+{\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}{5}},$

où il n’y aura plus qu’à mettre pour $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ les valeurs de $r,r^{2},r^{3},r^{4}$ que nous avons données plus haut (n^o 18).

27. On trouverait par les mêmes principes les valeurs des puissances de $r$ qui forment les autres racines de l’équation

$x^{11}-1=0,$

excepté l’unité.

Et d’abord on aura les valeurs des racines $r^{4},r^{5},r^{9},r^{3}$ qui entrent dans la fonction $\mathrm {X} '$ en multipliant, dans l’expression de $r,$ les radicaux ${\sqrt[{5}]{\theta '}},{\sqrt[{5}]{\theta ''}},{\sqrt[{5}]{\theta '''}},$ ${\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},$ respectivement, par $\alpha ^{4},\beta ^{4},\gamma ^{4},\delta ^{4}$ pour la racine $r^{4},$ par $\alpha ^{3},\beta ^{3},\gamma ^{3},\delta ^{3}$ pour $r^{5},$ par $\alpha ^{2},\beta ^{2},\gamma ^{2},\delta ^{2}$ pour $r^{9},$ et par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ pour $r^{3},$ c’est-à-dire par $\alpha ^{4},\alpha ^{3},\alpha ^{2},\alpha ,$ par $\alpha ^{3},\alpha ,\alpha ^{4},\alpha ^{2},$ par $\alpha ^{2},\alpha ^{4},\alpha ,\alpha ^{3}$ et par $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}.$

Ensuite, pour avoir les valeurs des autres racines $r^{2},r^{8},r^{10},r^{7},r^{6},$ qui entrent dans la fonction $\mathrm {X} '',$ il n’y aura qu’à changer, dans celles de $r,r^{4},r^{5},$ $r^{9},r^{3},$ $\mathrm {X} '$ en $\mathrm {X} ''$ et $\mathrm {X} ''$ en $\mathrm {X} ',$ ce qui ne demande que de changer le signe du radical ${\sqrt {-11}}$ dans les expressions de $\xi ^{0},\xi ',\ldots .$

28. Je donne ici d’autant plus volontiers ces expressions des racines de l’équation

$x^{11}-1=0,$

qu’elles n’ont jamais été données et qu’elles n’auraient pas même pu