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l’être par les méthodes connues, qui demandent la résolution d’une équation du cinquième degré.

Il y a cependant une exception à faire à ce que nous venons de dire car on trouve à la fin du Mémoire de Vandermonde sur la Résolution des équations, dont nous avons parlé dans la Note précédente, l’expression de la racine d’une équation du cinquième degré, d’où dépend la résolution de l’équation

$x^{11}-1=0.$

Car cette équation, étant divisée par $x-1,$ devient

$x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,$

laquelle, étant du genre des réciproques, peut s’abaisser au cinquième degré, par la substitution de $x+{\frac {1}{x}}=u,$ et l’on obtient, par les formules de la Note X (n^o 14), cette équation en $u$

$u^{5}+u^{4}-4u^{3}-3u^{2}+3u+1=0.$

En prenant $u$ négativement, ce qui change les signes de tous les termes pairs, on a l’équation résolue par Vandermonde. Cet Auteur ne donne l’expression dont il s’agit que comme un résultat de sa méthode générale, sans indiquer en détail les opérations par lesquelles il y est parvenu, et personne, après lui, ne s’est occupé, que je sache, à vérifier ce résultat, qui paraît même être resté ignoré.

29. La valeur que nous venons de trouver pour la racine $r$ de l’équation

$x^{11}-1=0,$

pourrait servir à cette vérification ; mais on peut parvenir directement à un résultat comparable à celui de Vandermonde en prenant pour $\alpha ,$ dans l’expression générale de $t$ du n^o 24, une racine de l’équation

$y^{5}-1=0,$

au lieu de l’équation

$y^{2}-1=0$