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Ainsi la valeur de $\theta$ sera

$\theta =-196-130\alpha +255\alpha ^{2}-20\alpha ^{3}+90\alpha ^{4}.$

En mettant successivement à la place de $\alpha$ les quatre racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ de l’équation

$x^{5}-1=0,$

on aura les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et, si l’on prend comme ci-dessus (n^o 26), pour ces racines, les puissances $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},$ dont les valeurs sont les mêmes que celles de $r,r^{2},r^{3},r^{4},$ du n^o 18, on aura, à cause de $x^{5}=1,$

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&-196-130\alpha \ \,+255\alpha ^{2}-20\alpha ^{3}+90\alpha ^{4},\\\theta ''\ =&-196-130\alpha ^{2}+255\alpha ^{4}-20\alpha \ \,+90\alpha ^{3},\\\theta '''=&-196-130\alpha ^{3}+255\alpha \ \,-20\alpha ^{4}+90\alpha ^{2},\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-196-130\alpha ^{4}+255\alpha ^{3}-20\alpha ^{2}+90\alpha ,\end{aligned}}$

et la formule générale du n^o 11 donnera tout de suite, en faisant $\nu =5$ et $s=-1,$

$\mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt[{5}]{\theta '}}+{\sqrt[{5}]{\theta ''}}+{\sqrt[{5}]{\theta '''}}+{\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}{5}}.$

Cette quantité $\mathrm {X} '$ est $=r+r^{10}=r+{\frac {1}{r}},$ à cause de $r^{11}=1\,;$ c’est la valeur de $2\cos {\frac {360^{\circ }}{11}}$ (n^o 12) ; c’est aussi celle de la racine $u$ de l’équation en $u$ du cinquième degré (n^o 28), puisque $r$ est la racine de l’équation

$x^{11}-1=0.$

Ainsi l’expression précédente, prise négativement, doit s’accorder avec celle de Vandermonde.

31. Pour pouvoir les comparer facilement, nous substituerons dans les expressions précédentes de $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les valeurs de $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},$ qui sont les mêmes que celles de $r,r^{2},r^{3},r^{4},$ du n^o 18.

En faisant, pour abréger,

$m={\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}},\quad n={\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}},$