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on a

${\begin{alignedat}{2}\alpha \ \,=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}+m}{4}},\qquad &\alpha ^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+n}{4}},\\\alpha ^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-n}{4}},&\alpha ^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-m}{4}},\end{alignedat}}$

et, pour s’assurer de la justesse de ces expressions, il n’y a qu’à faire le carré de $-1+{\sqrt {5}}+m,$ qui est

$6-2{\sqrt {5}}+m^{2}+2\left({\sqrt {5}}-1\right)m\,;$

or, en faisant passer sous le signe radical de $m$ le coefficient ${\sqrt {5}}-1$ élevé au carré, on trouvera

$\left({\sqrt {5}}-1\right)m=2n,$

de sorte que, en substituant la valeur de $m^{2},$ on a

$\left(-1+{\sqrt {5}}+m\right)^{2}=4\left(-1-{\sqrt {5}}+n\right).$

On peut vérifier de même les autres puissances de $\alpha .$

Faisant ces substitutions, on trouve

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}-220m+275n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}-275m-220n\right),\\\theta '''=&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}+275m+220n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}+220m-275n\right),\end{aligned}}$

où l’on remarquera que les coefficients $979,275,220$ sont tous divisibles par $11$ et donnent pour quotients $89,25,20,$ de sorte que les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ peuvent être exprimées plus simplement ainsi :

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-20m+25n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-25m-20n\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+25m+20n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+20m-25n\right).\end{aligned}}$