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32. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de Vandermonde, nous emploierons ces transformations

$m=p+q,\quad n=p-q,$

en supposant

$p={\sqrt {-5-2{\sqrt {5}}}},\quad q={\sqrt {-5+2{\sqrt {5}}}},$

lesquelles se vérifient en faisant les carrés et en observant que $pq=-{\sqrt {5}},$ parce que le produit des deux radicaux réels et positifs ${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}},$ ${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ est ${\sqrt {5}}\,;$ donc

${\sqrt {5}}=p{\sqrt {-1}}.q{\sqrt {-1}}=-pq.$

Par ces substitutions, les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ deviendront

${\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5p-45q\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-45p-\ \ 5q\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+45p+\ \ 5q\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5p+45q\right).\end{aligned}}$

33. Vandermonde a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1771 (p. 416), pour la résolution de l’équation

$x^{5}-x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+3x-1=0,$

cette expression de la racine

$x={\frac {1}{5}}\left(1+\Delta '+\Delta ''+\Delta '''+\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),$

dans laquelle

${\begin{aligned}\Delta '\ \ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}-\ \ 5q+45p\right)}},\\\Delta ''\ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}+\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta '''=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5q+45p\right)}},\end{aligned}}$

en conservant les valeurs de $p$ et $q$ supposées ci-dessus.