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On voit que les expressions de $\Delta '''$ et $\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ coïncident avec celles de ${\sqrt[{5}]{-\theta '''}}$ et ${\sqrt[{5}]{-\theta ''}},$ et que les expressions de $\Delta '$ et $\Delta ''$ ne différent de celles de ${\sqrt[{5}]{-\theta '}}$ et ${\sqrt[{5}]{-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},$ que par l’échange des quantités $p$ et $q$ entre elles, ce qui ne tient qu’au signe du radical $2{\sqrt {5}}$ sous le radical carré. À cette différence près, qui peut venir d’une faute d’impression dans le Mémoire de Vandermonde, ses résultats s’accordent parfaitement avec les nôtres, puisque la racine de son équation en $x$ répond à la racine de notre équation en $u,$ prise négativement, et que tout radical cinquième ${\sqrt[{5}]{-\theta }}$ est la même chose que $-{\sqrt[{5}]{\theta }}.$ On peut donc dire que Vandermonde est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée.

34. Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de Vandermonde, nous allons prouver qu’elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l’on désigne, comme lui, par $r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation

$x^{5}-1=0,$

il est facile de voir, par la formule générale de l’Article VII de son Mémoire, que la quantité $\Delta$ ne peut être que de la forme

${\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$

et que, en prenant cette expression pour l’une des quantités $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci par la substitution de $r^{2},r^{3},r^{4}$ à la place de $r,$ les quantités $\mathrm {A,B,C,D,E}$ étant des fonctions des racines de l’équation à résoudre, indépendantes des racines $r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

Or, par les relations données dans le même Article entre ces dernières racines, on a

${\begin{alignedat}{4}r'^{2}=&r''',&r''^{2}=&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r'''^{2}=&r'',&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}2}=&r',\\r'^{3}=&r'r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &r''^{3}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\quad &r'''^{3}=&r''r'''=r',\quad &r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}3}=&r'\ r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',\\r'^{4}=&r'r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',&r''^{4}=&r''r'''=r',&r'''^{4}=&r'\ r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}4}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\\\end{alignedat}}$